الانحراف المعياري قياس | أهم أنواعه

يعتبر الانحراف المعياري أحد المفاهيم الأساسية في الإحصاء وتحليل البيانات. ويساعد هذا القياس في قياس تشتت البيانات وفهم تشتتها ومدى انحرافها عن المتوسط العام. يحتاج العديد من الباحثين والمحللين إلى فهم البيانات وتفسيرها.

محتويات المقال

قياس الانحراف المعياري

الانحراف المعياري هو قياس يعبر عن قدرة البيانات على التشتت حول متوسطها الإجمالي. ويمثل هذا المقياس بالجذر التربيعي للانحراف المعياري لأنه يعبر عن مدى انحراف القيم عن المتوسط العام. إذا كان الانحراف المعياري صغيرا، تكون البيانات قريبة من المتوسط؛ وإذا كان كبيرا، تختلف البيانات أكثر.

كيفية حساب الانحراف المعياري

ويتم حساب الانحراف المعياري من خلال تحديد الفرق بين كل قيمة في مجموعة البيانات والمتوسط العام، وزيادته إلى مربع هذا الفرق وجمع النتائج. ثم يتم حساب المتوسط الإجمالي لهذه القيم ومن ثم تربيعها. يتم استخراج جذر النتيجة. الصيغة الرياضية المستخدمة لحساب الانحراف المعياري المعياري هي كما يلي:

\[ \sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2}{n}} \]

أين:

\( \sigma \) هو الانحراف المعياري.
\(n\) هو عدد القيم في مجموعة البيانات.
\(x_i\) هي قيمة كل فرد في مجموعة البيانات.
\( \bar{x}\) هو المتوسط العام لمجموعة البيانات.

أمثلة الانحراف المعياري

دعونا نستعرض أمثلة عملية توضح الخطوات الأساسية لفهم كيفية حساب الانحراف المعياري. توضح هذه الأمثلة خطوات حساب الانحراف المعياري وكيف يمكن استخدامه لفهم وقياس توزيع البيانات:

مثال 1: مجموعة بيانات صغيرة

لنفترض أن لدينا مجموعة بيانات صغيرة تتكون من الأرقام التالية: 2، 4، 4، 4، 5.

حساب المتوسط:\[ \bar{x} = \frac{2 + 4 + 4 + 4 + 5}{5} = \frac{19}{5} = 3.8 \]
احسب الفروق وارفعها إلى المربع:[ (2-3.8)^2 = 3.24, \, (4-3.8)^2 = 0.04, \, (4-3.8)^2 = 0.04, \, (4-3.8)^2 = 0.04, \, (5-3.8)^2 = 1.44 \]
احسب المتوسط الكلي للفروق التربيعية:\[ \frac{3.24 + 0.04 + 0.04 + 0.04 + 1.44}{5} = \frac{4.8}{5} = 0.96 \]
استخراج الجذر التربيعي:\[ \sigma = \sqrt{0.96} \approx 0.98 \]

المثال 2: مجموعة بيانات أكبر

لنأخذ مجموعة بيانات أكبر: 10، 20، 30، 40، 50.

حساب المتوسط:\[ \bar{x} = \frac{10 + 20 + 30 + 40 + 50}{5} = \frac{150}{5} = 30 \]
احسب الفروق وارفعها إلى المربع:[ (10-30)^2 = 400, \, (20-30)^2 = 100, \, (30-30)^2 = 0, \, (40-30)^2 = 100, \, (50-30)^2 = 400 \]
احسب المتوسط الكلي للفروق التربيعية:\[ \frac{400 + 100 + 0 + 100 + 400}{5} = \frac{1000}{5} = 200 \]
استخراج الجذر التربيعي:\[ \sigma = \sqrt{200} \approx 14.14 \]

مثال 3: مجموعة بيانات مختلفة

فكر في مجموعة بيانات متنوعة: 5، 10، 15، 25، 40.

حساب المتوسط:\[ \bar{x} = \frac{5 + 10 + 15 + 25 + 40}{5} = \frac{95}{5} = 19 \]
احسب الفروق وارفعها إلى المربع:[ (5-19)^2 = 196, \, (10-19)^2 = 81, \, (15-19)^2 = 16, \, (25-19)^2 = 36, \, (40-19)^2 = 441 \]
احسب المتوسط الكلي للفروق التربيعية:\[ \frac{196 + 81 + 16 + 36 + 441}{5} = \frac{770}{5} = 154 \]
استخراج الجذر التربيعي:\[ \sigma = \sqrt{154} \approx 12.41 \]

أنواع الانحرافات المعيارية

قياس الانحراف المعياري

الانحراف المعياري هو مقياس لتشتت وتشتت البيانات حول المتوسط العام. هناك نوعان رئيسيان من الانحراف المعياري:

الانحراف المعياري للعينة

يتم استخدام هذا النوع من الانحراف المعياري عند حسابه باستخدام عينة من البيانات بدلاً من مجموعة كاملة. الصيغة المستخدمة لحساب الانحراف المعياري للعينة هي كما يلي:\[ s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2}{n-1}} \] أين:

\(s\) هو الانحراف المعياري للعينة.
\(n\) هو عدد القيم في العينة.
\(x_i\) هي قيمة كل فرد في العينة.
\( \bar{x}\) هو متوسط العينة.

الانحراف المعياري السكان

يتم استخدام هذا النوع من الانحراف المعياري عند حسابه باستخدام مجموعة البيانات بأكملها بدلاً من العينة، وتكون صيغة حساب الانحراف المعياري للمجموعة بأكملها كما يلي:\[ \sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2}{N}} \] أين:

\( \sigma \) هو الانحراف المعياري للمجموعة الإجمالية.
\(N\) هو عدد القيم في المجموعة الإجمالية.
\(x_i\) هي قيمة كل فرد في المجموعة.
\( \mu \) هو متوسط المجموعة الإجمالي.

تجدر الإشارة إلى أن الفرق الرئيسي بين الانحراف المعياري للعينة والإنحراف المعياري الإجمالي للسكان يكمن في القسمة على n-1 في حالة العينة لتعويض الانحرافات العشوائية بشكل أفضل.

أهمية الانحراف المعياري

قياس الانحراف المعياري

يعتبر الانحراف المعياري من الأدوات الأساسية في الإحصاء وله أهمية كبيرة في مختلف المجالات للأسباب التالية:

تقدير التباين: يعكس الانحراف المعياري مقدار التشتت في البيانات، مما يسمح للمحللين بفهم درجة التباين بين القيم ومدى انحرافها عن المتوسط.
المقارنة بين المجموعات المختلفة: يُستخدم الانحراف المعياري لمقارنة توزيعات البيانات بين المجموعات المختلفة؛ وهذا مفيد في تحليل الاختلافات بينهما.
تحديد القيم غير الطبيعية: يساعد الانحراف المعياري المعياري على تحديد القيم غير الطبيعية أو الفردية التي تنحرف بشكل كبير عن المتوسط، مما يدل على أهمية هذه القيم.

وفي نهاية حديثنا اليوم يعتبر الانحراف المعياري أداة قوية لتحليل وفهم البيانات وبالتالي يساهم في رسم صورة أكثر دقة لتوزيع القيم مما يتيح للباحثين والمحللين اتخاذ قرارات مستنيرة على أساس البيانات الإحصائية . تحليل البيانات.

نوجد الفرق بين كل قيمة والوسط الحسابي، ثم نرفع كل فرق إلى القوة الثانية، ونوجد متوسط هذه القيم مرفوعاً إلى القوة، ونأخذ الجذر التربيعي لهذا الوسط.

يقيس التباين متوسط القيم المربعة للفروق بين كل قيمة والمتوسط العام، بينما الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي للتباين مما يعيده إلى الوحدات الأصلية للبيانات ويسهل تفسيره.

الانحراف المعياري هو مقياس لتشتت أو تباين القيم في مجموعة بيانات حول المتوسط.