العمليات على كثيرات الحدود، أو متعددات الحدود كما تسمى باللغة الإنجليزية، هو ما يهتم – elwefaq.com بتوضيح معناها، والذي يتضمن أهم العمليات التي تتم من خلالها وما هي الأجزاء التي تتكون منها. بالإضافة إلى ذلك، سيتم عرض العديد من الأمثلة التي توضح ذلك وسيتم سرد الخطوات اللازمة لإيجاد الحلول المناسبة لكل مشكلة ذات صلة وتحديد درجة كثيرات الحدود.
العمليات على كثيرات الحدود
العمليات على كثيرات الحدود
قبل تعلم العمليات على كثيرات الحدود، يجب تحديد تعريفها الدقيق على النحو التالي:
- يتم تعريفها على أنها عمليات رياضية تتكون من متغيرات ومعاملات مختلفة تسمى الثوابت.[1]
- ويتضمن أيضًا الكثير من عمليات الطرح والجمع والقسمة والضرب.
- كما أنه جزء مهم من الرياضيات يستخدم في مختلف المجالات الرياضية للتعبير عن الأعداد الناتجة عن العمليات الحسابية.
- وأهم الأمثلة هي: 3×2-2x+5، x+3.
العمليات الحسابية على كثيرات الحدود
نقدم أدناه بعض الأمثلة على العمليات التي تتضمن الجمع والطرح والضرب لكثيرات الحدود:
إضافة كثيرات الحدود
- العمليات كثيرة الحدود التي تتطلب الجمع تبدأ بإضافة الحدود المتشابهة.[2]
- المصطلحات المتشابهة هي المصطلحات التي لها نفس المتغيرات والأسس ولكن معاملاتها مختلفة.
- وأهم الأمثلة هي x و7x و-2x، والتي لها مصطلحات متشابهة ومعاملات مختلفة.
- أما بالنسبة للمصطلحات المختلفة فأهم الأمثلة هي: 2x، 2xy، 2y، 2×2، 4.
- نتيجة لإضافة 3×2-2x-1 و2×2+6x+5، يتم كتابة ترتيب المصطلحات على النحو التالي: 2×2+6x+5+3×2-2x-1 ويتم جمع المصطلحات المتشابهة معًا للحصول على (2×2+3×2). + (6x-2x) + (5-1)، ثم أضف مصطلحات مشابهة (2+3)x2+(6-2)x+(5-1) =5×2+4x+4.
طرح كثيرات الحدود
- يتم طرح كثيرات الحدود بنفس طريقة إضافتها.
- ومن الأمثلة الرئيسية على ذلك: (5y² + 2xy – 9) – (2y² + 2xy – 3) نتيجة الطرح، وحذف القوسين، ثم توزيع إشارة الطرح على محتويات القوس الثاني، ثم إضافة مصطلحات مشابهة: 5y² + 2 xy-9 -2y² – 2y²+3 = 5y²-2y² + 2xy-2 xy-9+3 = (5-2)y²+0-6 = 3y²-6.
ضرب كثيرات الحدود
- يبدأ ضرب كثيرات الحدود بتوزيع كل حد من كثيرة الحدود الأولى على كل حد من كثيرة الحدود الثانية.
- ثم نقوم بإجراء إضافة كثيرات الحدود.
- فكر في ضرب المعاملات معًا ثم إضافة الأسس.
- وأهم مثال على ذلك هو حاصل ضرب (3x-4y) x (5x-2y) = 15×2-26xy + 8y2، والذي يتم الحصول عليه عن طريق إضافة مصطلحات متشابهة معًا.
أجزاء من كثيرات الحدود
تتضمن العمليات التي تتضمن كثيرات الحدود العديد من الأجزاء المكونة لكثيرة الحدود؛ وأهمها مبين في الجدول أدناه:
| حدود | وهو يتألف من أحاديات الحد، وهي الأجزاء الأساسية لمتعددات الحدود. وأهم طرق تحديد عدد المصطلحات الخاصة بها هي:
|
| عامل الحد | وهو العنصر الثابت وغير المتغير للمصطلح ومن أهم الأمثلة في كثيرات الحدود ما يلي:
|
تصنيف كثيرات الحدود
عندما يرغب المرء في التعامل مع العمليات المختلفة على كثيرات الحدود، فمن الضروري أن يكون على دراية بتصنيف كثيرات الحدود؛ ويتم هذا التصنيف بالطريقتين التاليتين:
عدد الحدود
تنقسم كثيرات الحدود إلى ما يلي حسب عدد حدودها:
- تحتوي أحادية الحد على حد واحد فقط، على سبيل المثال: 8.
- ذات الحدين التي تحتوي على حدين فقط، على سبيل المثال: 3x-4.
- ثلاثية الحدود تحتوي على ثلاثة حدود فقط، على سبيل المثال: 4×2+5x-2.
- تتم تسمية كثيرات الحدود أيضًا وفقًا لعدد المصطلحات التي تحتوي عليها.
فصل
- يتم تحديده من خلال قيمة أس المتغير في كثير الحدود.
- إذا كان للأس أكثر من قيمة متغيرة، يتم تحديد النتيجة عن طريق جمعها معًا.
- درجة كثيرة الحدود تساوي درجة الحد الأقصى للحدود المكونة لها.
- وأهم الأمثلة هي:
- 5×4+3×3+9×2 درجة الحد هي 4.
- درجة الحد 3s3 هي 3.
- درجة الحد 9s2 هي 2.
- درجة كثيرة الحدود 6y3+3xy+9 هي 3.
- 3 مصطلح xy له الدرجة 2
- درجة القطع 9 هي صفر.
- تسمى كثيرات الحدود ذات الدرجة الصفرية بالثوابت لأن قيم الثوابت لا تتغير، ولذلك يتم استخدامها لتحديد الكميات غير المتغيرة.
- تُعرف كثيرات الحدود من الدرجة الأولى بالمصطلحات الخطية وتستخدم لوصف الكميات التي تختلف بمعدل ثابت في المشكلات الهندسية التي تتضمن بُعدًا واحدًا، بما في ذلك الطول.
- تُعرف كثيرات الحدود التربيعية باسم كثيرات الحدود التربيعية وتستخدم في المسائل الهندسية التي تتضمن بعدين، بما في ذلك المساحة.
النموذج القياسي لكتابة كثيرات الحدود
تتم كتابة العمليات على كثيرات الحدود في شكل قياسي، ونحن نخطط لمعرفة ذلك بالكامل في السطور القليلة القادمة:
- تتم كتابة كثيرات الحدود بدءًا من الحد الأعلى درجة.
- ثم تأكد من ترتيب الحدود بالترتيب التنازلي.
بالإضافة إلى العمليات التي تتضمن الضرب والطرح والجمع لكثيرات الحدود، تعلمنا أهم مكونات كثيرات الحدود وكيفية تحديد درجاتها وكيفية كتابتها بالصورة القياسية.