ما هي الأعداد الصحيحة في الرياضيات وما هي مجموعاتها وخصائصها والعمليات الحسابية التي تتم عليها؟ وهو من الأمور المهمة التي يحتاجها الطالب ليس فقط في الرياضيات بل في المعادلات الفيزيائية والكيميائية والعلمية وحتى في معظم مجالات وأبعاد الحياة فنحن نحتاجه وكما عودناكم دائما سوف يجيب على جميع أسئلتكم حول هذا الموضوع. هذا الموضوع وغيره من المواضيع التي تهمك.
ما هي الأعداد الصحيحة؟
الأعداد الصحيحة هي أصغر مجموعة من الأعداد الطبيعية، وهي أرقام لا تأتي على شكل جزء عشري أو كسري، وتشمل الأعداد الصحيحة في مجموعتها أعدادًا سالبة وموجبة بما في ذلك الصفر، وفي نظرية الأعداد الجبرية، يتم تصنيف الأعداد الصحيحة أحيانًا على أنها أعداد عقلانية . الأعداد الصحيحة الجبرية الأكثر شيوعًا، وهي في الواقع أعداد صحيحة (منطقية)، هي أعداد صحيحة جبرية، وهي أيضًا أرقام نسبية، ومن أمثلة الأعداد الصحيحة: 5، 0، 1، 5، 8، 97، و3043.
مجموعة من الأعداد الصحيحة
تتضمن مجموعة الأعداد الصحيحة التي يمثلها Z ما يلي:
- الأعداد الصحيحة الموجبة: يكون العدد الصحيح موجبًا إذا كان أكبر من الصفر؛ على سبيل المثال: 1، 2، 3 وغيرها.
- الأعداد الصحيحة السالبة: الأعداد الصحيحة تكون سالبة إذا كانت أقل من الصفر؛ على سبيل المثال: 1، 2، 3، إلخ.
- عدد صحيح محايد: الصفر ليس عددًا صحيحًا سالبًا ولا موجبًا، بل هو عدد صحيح محايد مثال: Z = {… 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2 ، 3، …} وغيرها من الأرقام الموجبة والسالبة كلها أعداد صحيحة.
خصائص الأعداد الصحيحة
الأعداد الصحيحة لها خمس خصائص رئيسية. ويرد أدناه وصف تفصيلي لكل ميزة:
خاصية إيقاف التشغيل
- تنص خاصية الإغلاق بالإضافة والطرح على أن مجموع أو الفرق بين أي عددين صحيحين سيكون دائمًا عددًا صحيحًا؛ على سبيل المثال، إذا كان x وy عبارة عن عددين صحيحين، فإن x + y وx y سيكونان عددًا صحيحًا أيضًا، المثال 1: 3 – 4 = 3 + (−4) = −1, (–5) + 8 = 3 النتائج هي أعداد صحيحة.
- تنص خاصية الإغلاق في الضرب على أن حاصل ضرب أي عددين صحيحين سيكون عددًا صحيحًا؛ أي أنه إذا كان x وy عددين صحيحين، فإن xy سيكون أيضًا عددًا صحيحًا، المثال 2: 6 x 9 = 54; (–5) × (3) = 15، هذه أعداد صحيحة.
- قسمة الأعداد الصحيحة لا تخضع لخاصية الإغلاق، لذا فإن حاصل قسمة أي عددين صحيحين x وy قد يكون أو لا يكون عددًا صحيحًا مثال 3: (−3) ÷ (−6) = ½ ليس عددًا صحيحًا.
تبادل الممتلكات
- تشير الخاصية التبادلية في عمليات الجمع والضرب إلى أن ترتيب الحدود لا يهم وأن النتيجة ستكون هي نفسها. سواء كان الجمع أو الضرب، فإن تبديل المصطلحات لن يغير المجموع أو المنتج. لنفترض أن x وy عبارة عن عددين صحيحين: ⇒ x + y = y + x, ⇒ xxy = yxx، مثال 4: 4 + (−6) = −2 = (−6) + 4, 10 x (−3) ) = 30 = (3) × 10.
- ومع ذلك، فإن الطرح (x – y ≠ y – x) والقسمة (x ÷ y ≠ y ÷ x) غير قابلين للتبديل بين الأعداد الصحيحة والأعداد الصحيحة، مثال 5: 4 – (6) = 10؛ (−6) – 4 = 10 ⇒ 4 – (−6) ≠ (6) – 4، مثال: 10 ÷ 2 = 5؛ 2 ÷ 10 = ⅕ ⇒ 10 ÷ 2 2 10
ميزة القوس
- تنص خاصية الدمج في الجمع والضرب على أن طريقة تجميع الأرقام غير مهمة وأن النتيجة ستكون واحدة، ويمكن تجميع الأرقام بأي طريقة ولكن الإجابة تظل كما هي، ويمكن وضع الأقواس بغض النظر عن ترتيبها. لنفترض أن x وy وz هي ثلاثة أرقام صحيح ⇒ x + (y + z) = (x + y) + z ⇒ xx (yxz) = (xxy) xz، المثال 6: 1 + (2 + ( 3) ) ) = 0 = (1 + 2) + (−3); 1 × (2 × (−3)) = 6 = (1 × 2) × (−3).
- طرح الأعداد الصحيحة هو عملية غير ترابطية بطبيعتها، أي x – (y – z) ≠ (x – y) – z، المثال 7: 1 – (2 – (−3)) = −4; (12) – (−3) = 2, 1 – (2 – (−3)) ≠ (12) – (−3)
خاصية التوزيع
يصف التوزيع القدرة على توزيع العمليات ضمن عملية حسابية أخرى داخل شريحة. قد يكون للضرب خاصية توزيع على الجمع، أو قد يكون للضرب خاصية توزيع على الطرح. هنا يتم أولاً جمع الأعداد الصحيحة أو طرحها ثم ضربها أو ضربها من قبل. كل رقم بين قوسين متبوعًا بإضافة أو طرح. يمكن تمثيل ذلك على النحو التالي لأي أعداد صحيحة x وy وz:
- ⇒ xx (y + z) = xxy + xxz
- ⇒ س س (ص ض) = س ص ص س س س ض
مثال 8: −5 (2 + 1) = 15 = (−5 × 2) + (−5 × 1)
ميزة الهوية
- تنص خاصية الهوية الجمعية على أن أي عدد صحيح يضاف إلى الصفر يعطي نفس العدد، ويسمى الصفر بالهوية الجمعية لأي عدد صحيح x,x + 0 = x = 0 + x
- تقول خاصية الهوية المتعددة للأعداد الصحيحة أنه عندما يتم ضرب رقم في 1، فإن المنتج يعطي العدد الصحيح نفسه، وبالتالي استدعاء 1 الهوية المتعددة لرقم.بالنسبة لأي عدد صحيح x، xx 1 = x = 1 xx
- إذا تم ضرب أي عدد صحيح في 0، تكون النتيجة صفر: xx 0 = 0 = 0 xx
- إذا تم ضرب أي عدد صحيح في −1، فإن النتيجة هي مقلوب الرقم: xx (−1) = −x = (−1) x x.
العمليات على الأعداد الصحيحة
ترتبط العمليات الحسابية الأربع الأساسية على الأعداد الصحيحة ببعضها البعض وهي:
إضافة الأعداد الصحيحة
الرقم صفر يقع في المنتصف على خط الأعداد، وعندما نمده إلى يمين الصفر نحصل على أرقام موجبة، وعندما نمده إلى يسار الصفر نحصل على أرقام سالبة، ونتخيل أننا نتحرك بينما إضافة الأعداد الصحيحة الموجبة والأعداد الصحيحة السالبة. جمع وطرح الأعداد الصحيحة على خط الأعداد وإضافة طرح الأعداد الصحيحة على خط الأعداد، إليك قواعد جمع الأعداد الصحيحة:
- عند جمع رقمين متشابهين بإشارة، نضع الإشارة أولا ثم نضيف: على سبيل المثال: بافتراض أنه طلب منا إضافة الرقمين 4 و 3، سنبدأ بالانتقال بالضبط إلى الرقم 4 على خط الأعداد. إذا تحركنا أربع وحدات إلى يمين الصفر، فسنحتاج إلى التحرك ثلاث وحدات إلى اليمين. وبما أننا وضعنا 7 وحدات على يمين الصفر، فإن مجموع 3 و 4 هو 7، فنقول (+3) + (+4). )= +4 أو (3) – (4)= (7).
- عند جمع رقمين مختلفين بإشارة، عند الطرح نضع إشارة الأكبر: ) بافتراض أنه طلب منا جمع الرقمين 8 و 2، سنبدأ بتحريك ثماني وحدات إلى يمين الصفر، ثم نحرك وحدتين وحدات إلى اليسار من هناك لأننا نعلم أن الأرقام السالبة تجعلنا ننتقل إلى يسار الخط. بما أن الأرقام هي 8 وموقعنا النهائي هو ست وحدات على يمين الصفر، فيمكننا القول أن المجموع هو . 2 يساوي 6، (2) + (+8) = +6، (+2) – (8) = 6.
طرح الأعداد الصحيحة
لتحويل مسائل الطرح إلى مسائل جمع، يتم اتباع خطوتين رئيسيتين عند طرح عددين:
- لتحويل علامة الطرح في السؤال المحدد إلى علامة الجمع: (+4) – (+3)= (+4) + (3).
- يعكس إشارة الرقم التي تلي علامة الزائد الموضوعة حديثاً مباشرة: (+4) – (+3)= (+4) + (3).
وفق هذه الخطوات علينا أن نحول علامة الطرح إلى علامة زائد في أي سؤال، علينا أن نأخذ معكوس 3، أي 3، فتصبح المشكلة كما يلي:
- (+4) + (3) الآن باستخدام قواعد الجمع فإن الإجابة التي نحصل عليها هي +1.
- =(+4) – (+3)
- =(+4) + (3)
- =+1
لفهم أفضل، إليك بعض الأمثلة الأخرى:
- مثال 1) 2 – 7 = 2 + (7) = 9
- مثال 2) 6 (2) = 6 + 2 = 8
- مثال 3) 7 – (2) = 7 + 2 = 5
ضرب الأعداد الصحيحة
القاعدة الأولى التي يجب أن تعرفها عند ضرب عددين صحيحين هي أننا نقوم بالضرب دون إضافة علامات، ثم بعد ضرب العددين ستنشئ قاعدتين:
- إذا كان هناك رقمان لهما نفس الإشارة، فإن إشارة النتيجة تكون موجبة: (+4) x (+3) = +12، (4) x (3) = +12.
- إذا كان هناك رقمان لهما نفس الإشارة، فإن إشارة النتيجة تكون سالبة: (4) x (+3) = 12، (+4) x (3) = 12.
تقسيم الأعداد الصحيحة
القاعدة الأولى التي يجب أن تعرفها عند قسمة عددين صحيحين هي أن نقوم بالقسمة بدون إشارة، ثم بعد قسمة رقمين ستنشئ قاعدتين:
- إذا كان هناك رقمان لهما نفس الإشارة، فإن إشارة النتيجة تكون موجبة: (+12) ÷ (+3)= +4، (12) ÷ (3)= +4.
- إذا كان هناك رقمان لهما نفس الإشارة، فإن إشارة النتيجة تكون سالبة: (12) ÷ (+3)= 4، (+12) ÷ (3)= 4.
وبهذا الكم من المعلومات نكون قد وصلنا إلى نهاية هذا المقال بعنوان ما هي الأعداد الصحيحة، والذي قدمنا فيه معلومات عن مجموعات الأعداد الصحيحة وخصائصها الخمسة، وفي نهاية المقال قدمنا لكم معلومات عن العمليات على الأعداد. الأعداد الصحيحة مع الأمثلة التي من شأنها إثراء أفكار قرائنا الأعزاء.